Касательная к окружности
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямая a, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая a — касательная к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B, то MA = MB и ∠AMO = ∠BMO, где точка O — центр окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Касающиеся окружности
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих окружностей.
2. Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r = O1O2
3. Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2
4. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB = 90° и ∠O1CO2 = 90°
5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними касательными. Оба эти отрезка равны
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пересекающихся в точке E, равны, то есть AE · EB = CE · ED
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Длина окружности радиуса R равна 2πR
Площадь круга радиуса R равна πR2
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.
1. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Если прямая a, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то прямая a — касательная к окружности.
3. Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B, то MA = MB и ∠AMO = ∠BMO, где точка O — центр окружности.
4. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Касающиеся окружности
Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точку касания).
1. Точка касания двух окружностей лежит на линии центров этих окружностей.
2. Окружности радиусов r и R с центрами O1 и O2 касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r = O1O2
3. Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R − r = O1O2
4. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB = 90° и ∠O1CO2 = 90°
5. Отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен отрезку общей внутренней касательной, заключённому между общими внешними касательными. Оба эти отрезка равны
Свойства хорд окружности
1. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.
2. Произведения длин отрезков хорд AB и CD окружности, пересекающихся в точке E, равны, то есть AE · EB = CE · ED
Вписанные и описанные окружности
1. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
2. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
3. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
4. Если четырёхугольник можно вписать в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°
5. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
6. Если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.
7. Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
8. Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь равна произведению полупериметра многоугольника на радиус этой окружности.
Теорема о касательной и секущей и следствие из неё
1. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
2. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно.
Длина окружности радиуса R равна 2πR
Площадь круга радиуса R равна πR2
Комментариев нет:
Отправить комментарий